2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(4)

競(jìng)賽專題講座04

　　-平面幾何證明

　　[競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)撥]

　　1. 線段或角相等的證明

　　(1)　　　 利用全等△或相似多邊形;

　　(2)　　　 利用等腰△;

　　(3)　　　 利用平行四邊形;

　　(4)　　　 利用等量代換;

　　(5)　　　 利用平行線的性質(zhì)或利用比例關(guān)系

　　(6)　　　 利用圓中的等量關(guān)系等。

　　2. 線段或角的和差倍分的證明

　　(1)　　　 轉(zhuǎn)化為相等問(wèn)題。如要證明a=b±c，可以先作出線段p=b±c，再去證明a=p，即所謂“截長(zhǎng)補(bǔ)短”，角的問(wèn)題仿此進(jìn)行。

　　(2)　　　 直接用已知的定理。例如：中位線定理，Rt△斜邊上的中線等于斜邊的一半;△的外角等于不相鄰的內(nèi)角之和;圓周角等于同弧所對(duì)圓心角的一半等等。

　　3. 兩線平行與垂直的證明

　　(1)　　　 利用兩線平行與垂直的判定定理。

　　(2)　　　 利用平行四邊形的性質(zhì)可證明平行;利用等腰△的“三線合一”可證明垂直。

　　(3)　　　 利用比例關(guān)系可證明平行;利用勾股定理的逆定理可證明垂直等。

　　【競(jìng)賽例題剖析】

　　【例1】從⊙O外一點(diǎn)P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點(diǎn)作弦AE平行于 CD，連結(jié)BE交CD于F。求證：BE平分CD。

　　【分析1】構(gòu)造兩個(gè)全等△。

　　連結(jié)ED、AC、AF。

　　CF=DF←△ACF≌△EDF←

　　← ←∠PAB=∠AEB=∠PFB

　　【分析2】利用圓中的等量關(guān)系。連 結(jié)OF、OP、OB。

　　←∠PFB=∠POB←

　　← 注：連結(jié)OP、OA、OF，證明A、O、F、P四點(diǎn)共圓亦可。

　　【例2】 △ABC內(nèi)接于⊙O，P是弧 AB上的一點(diǎn)，過(guò)P作OA、OB的垂線，與AC、BC分別交于S、T，AB交于M、N。求證：PM=MS充要條件是PN=NT。

　　【分析】只需證 ， PM·PN=MS·NT。

　　(∠1=∠2，∠3=∠4)→△APM∽△PBN

　　→ →PM·PN=AM·BN

　　(∠BNT=∠AMS，∠BTN=∠MAS)→△BNT∽△SMA

　　→ →MS·NT=AM·BN

　　【例3】已知A為平面上兩半徑不等的圓O1和O2的一個(gè)交點(diǎn)，兩外公 切線P1P2、Q1Q2分別切兩圓于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點(diǎn)。求證：∠O1AO2=∠M1AM2。

　　【分析】設(shè)B為兩圓的另一交點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)BA交P1P2于C，交O1O2于M，則C為 P1P2的中點(diǎn)，且P1M1∥CM∥P2M2，故CM為M1M2 的中垂線。

　　在O1M上截取MO3=MO2，則∠M1AO3=∠M2AO2。

　　故只需證∠O1AM1=∠O3AM1，即證 。

　　由△P1O1M1∽P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。

　　【例4】在△ABC中，AB>AC，∠A的外角平分線交△ABC的外接圓于D，DE⊥AB于E，求證：AE= 。

　　【分析】方法1、2AE=AB-AC

　　← 在BE上截取EF=AE，只需證BF=AC，連結(jié)DC、DB、DF，從而只需證△DBF≌△DCA

　　← DF=DA，∠DBF=∠DCA，∠DFB=∠DAC

　　←∠DFA=∠DAF=∠DAG。

　　方法2、延長(zhǎng)CA至G，使AG=AE，則只需證BE=CG

　　← 連結(jié)DG、DC、DB，則只需證△DBE≌△DCG

　　← DE=DG，∠DBE=∠DCG，∠DEB=∠DGC=Rt∠。

　　【例5】∠ABC的頂點(diǎn)B在⊙O外，BA、BC均與⊙O相交，過(guò)BA與圓的交點(diǎn)K引∠ABC平分線的垂線，交⊙O于P，交BC于M。

　　求證：線段PM為圓心到∠ABC平分線距離的2倍。

　　【分析】若角平分線過(guò)O，則P、M重合，PM=0，結(jié)論顯然成立。

　　若角平分線不過(guò)O，則延長(zhǎng)DO至D‘，使OD’=OD，則 只需證DD‘=PM。連結(jié)D’P、DM，則只需證DMPD‘為平行四邊形。

　　過(guò)O作m⊥PK，則D D’,K P，∴∠D‘PK=∠DKP

　　BL平分∠ABC，MK⊥BL→BL為MK的中垂線→∠DKB=∠DMK

　　∴∠D’PK=∠DMK，∴D‘P∥DM。而D’ D∥PM，

　　∴DMPD‘為平行四邊形。

　　【例6】在△ABC中，AP為∠A的平分線，AM為BC邊上的中線，過(guò)B作BH⊥AP于H，AM的延長(zhǎng)線交BH于Q，求證：PQ∥AB。

　　【分析】方法1、結(jié)合中線和角平分線的性質(zhì)，考慮用比例證明平行。

　　倍長(zhǎng)中線：延長(zhǎng)AM至M’，使AM=MA‘，連結(jié)BA’，如圖6-1。

　　PQ∥AB← ← ← ← ∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)= 180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ

　　方法2、結(jié)合角平分線和BH⊥AH聯(lián)想對(duì)稱知識(shí)。

　　延長(zhǎng)BH交AC的延長(zhǎng)線于B’，如圖6-2。則H為BB‘的中點(diǎn)，因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，連結(jié)HM，則HM∥B/C。延長(zhǎng)HM交AB于O，則O為AB的中點(diǎn)。延長(zhǎng)MO至M’，使OM‘=OM，連結(jié)M’A、M‘B，則AM’BM是平行四邊形，

　　∴MP∥AM‘，QM∥BM’。于是， ，所以PQ∥AB。

　　【例7】 菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E、F、G、H，在EF與GH上分別作⊙O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。

　　求證：MQ∥NP。(95年全國(guó)聯(lián)賽二試3)

　　【分析】由AB∥CD知：要證MQ∥NP，只需證∠AMQ=∠CPN，

　　結(jié)合∠A=∠C知，只需證△AMQ∽△CPN← ，AM·CN=AQ·CP。

　　連結(jié)AC、BD，其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心O。設(shè)MN與⊙O切于K，連結(jié)OE、OM、OK、ON、OF。記∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，則

　　∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ。

　　∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α

　　∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM

　　又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是 ，

　　∴AM·CN=AO·CO

　　同理，AQ·CP=AO·CO。

　　【例8】ABCD是圓內(nèi)接四邊形，其對(duì)角線交于P，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，過(guò)M、N分別作BD、AC的垂線交于K。求證： KP⊥AB。

　　【分析】延長(zhǎng)KP交AB于L，則只需證∠PAL+∠APL=90°，

　　即只需證∠PDC+∠KPC=90°，只需證∠PDC=∠PKF，

　　因?yàn)镻、F、K、E四點(diǎn)共圓，故只需證∠PDC=∠PEF，即EF∥DC。

　　← ← ←△DME∽△CNF

　　【例9】以△ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、AC分別交于點(diǎn)D、E。過(guò)D、E作BC的垂線，垂足分別是F、G，線段DG、EF交于點(diǎn)M。求證：AM⊥BC。

　　【分析】連結(jié)BE、CD交于H，則H為垂心，故AH⊥BC。(同一法)

　　設(shè)AH⊥BC于O，DG、AH交于M1，EF、AH交于M2。下面證M1、M2重合。

　　OM1∥DF→ →OM1= 。

　　OM2∥EG→ →OM2= 。

　　只需證OG·DF=EG·OF，即 ←Rt△OEG∽R(shí)t△ODF←∠DOF=∠DHB=∠EHC=∠EOG。

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