2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(6)

　　競(jìng)賽專題講座06

　　-平面幾何四個(gè)重要定理

　　四個(gè)重要定理：

　　梅涅勞斯(Menelaus)定理(梅氏線)

　　△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R共線的充要條件是 。

　　塞瓦(Ceva)定理(塞瓦點(diǎn))

　　△ABC的三邊BC、CA、AB上有點(diǎn)P、Q、R，則AP、BQ、CR共點(diǎn)的充要條件是 。

　　托勒密(Ptolemy)定理

　　四邊形的兩對(duì)邊乘積之和等于其對(duì)角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。

　　西姆松(Simson)定理(西姆松線)

　　從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。

　　例題：

　　1.　 設(shè)AD是△ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證： 。

　　【分析】CEF截△ABD→ (梅氏定理)

　　【評(píng)注】也可以添加輔助線證明：過(guò)A、B、D之一作CF的平行線。

　　2.　 過(guò)△ABC的重心G 的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。

　　求證： 。

　　【分析】連結(jié)并延長(zhǎng)AG交BC于M，則M為BC的中點(diǎn)。

　　DEG截△ABM→ (梅氏定理)

　　DGF截△ACM→ (梅氏定理)

　　∴ = = =1

　　【評(píng)注】梅氏定理

　　3.　 D、E、F分別在△ABC的BC、CA、AB邊上，

　　，AD、BE、CF交成△LMN。

　　求S△LMN。

　　【分析】

　　【評(píng)注】梅氏定理

　　4.　 以△ABC各邊為底邊向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點(diǎn)。

　　【分析】

　　【評(píng)注】塞瓦定理

　　5. 已知△ABC中，∠B=2∠C。求證：AC2=AB2+AB·BC。

　　【分析】過(guò)A作BC的平行線交△ABC的外接圓于D，連結(jié)BD。則 CD=DA=AB，AC=BD。

　　由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。

　　【評(píng)注】托勒密定理

　　6. 已知正七邊形A1A2A3A4A5A6A7。

　　求證： 。(第21屆全蘇數(shù)學(xué)競(jìng)賽)

　　【分析】

　　【評(píng)注】托勒密定理

　　7. △ABC的BC邊上的高AD的延長(zhǎng)線交外接圓于P，作PE⊥AB于E，延長(zhǎng)ED交AC延長(zhǎng)線于F。

　　求證：BC·EF=BF·CE+BE·CF。

　　【分析】

　　【評(píng)注】西姆松定理(西姆松線)

　　8. 正六邊形ABCDEF的對(duì)角線AC、CE分別被內(nèi)分點(diǎn)M、N分成的比 為AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共線。求k。(23-IMO-5)

　　【分析】

　　【評(píng)注】面積法

　　9. O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，分別以da、db、dc表示O到BC、CA、AB 的距離，以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、C的距離。

　　求證：(1)a·Ra≥b·db+c·dc;

　　(2) a·Ra≥c·db+b·dc;

　　(3) Ra+Rb+Rc≥2(da+db+dc)。

　　【分析】

　　【評(píng)注】面積法

　　10.△ABC中，H、G、O分別為垂心、重心、外心。

　　求證：H、G、O三點(diǎn)共線，且HG=2GO。(歐拉線)

　　【分析】

　　【評(píng)注】同一法

　　11.△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BM、BN三等分∠ABC，與AD相交于M、N，延長(zhǎng)CM交AB于E。

　　求證：MB//NE。

　　【分析】

　　【評(píng)注】對(duì)稱變換

　　2011年中考數(shù)學(xué)備考輔導(dǎo)：選擇題精選匯總

　　名師解讀南京2011年中考數(shù)學(xué)命題趨勢(shì)