2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競賽講座(17)

競賽講座17

　　-數(shù)學(xué)歸納法

　　基礎(chǔ)知識

　　數(shù)學(xué)歸納法是用于證明與正整數(shù) 有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性的一種嚴(yán)格的推理方法.在數(shù)學(xué)競賽中占有很重要的地位.

　　1.數(shù)學(xué)歸納法的基本形式

　　(1)第一數(shù)學(xué)歸納法

　　設(shè) 是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

　�、佼�(dāng) ( )時(shí)， 成立;

　�、诩僭O(shè) 成立，由此推得 時(shí)， 也成立，那么，根據(jù)①②對一切正整數(shù) 時(shí)， 成立.

　　(2)第二數(shù)學(xué)歸納法

　　設(shè) 是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

　�、佼�(dāng) ( )時(shí)， 成立;

　�、诩僭O(shè) 成立，由此推得 時(shí)， 也成立，那么，根據(jù)①②對一切正整數(shù) 時(shí)， 成立.

　　2.數(shù)學(xué)歸納法的其他形式

　　(1)跳躍數(shù)學(xué)歸納法

　�、佼�(dāng) 時(shí)， 成立，

　�、诩僭O(shè) 時(shí) 成立，由此推得 時(shí)， 也成立，那么，根據(jù)①②對一切正整數(shù) 時(shí)， 成立.

　　(2)反向數(shù)學(xué)歸納法

　　設(shè) 是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

　�、� 對無限多個(gè)正整數(shù) 成立;

　�、诩僭O(shè) 時(shí)，命題 成立，則當(dāng) 時(shí)命題 也成立，那么根據(jù)①②對一切正整數(shù) 時(shí)， 成立.

　　3.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧

　　(1)起點(diǎn)前移：有些命題對一切大于等于1的正整數(shù)正整數(shù) 都成立，但命題本身對 也成立，而且驗(yàn)證起來比驗(yàn)證 時(shí)容易，因此用驗(yàn)證 成立代替驗(yàn)證 ，同理，其他起點(diǎn)也可以前移，只要前移的起點(diǎn)成立且容易驗(yàn)證就可以.因而為了便于起步，有意前移起點(diǎn).

　　(2)起點(diǎn)增多：有些命題在由 向 跨進(jìn)時(shí)，需要經(jīng)其他特殊情形作為基礎(chǔ)，此時(shí)往往需要補(bǔ)充驗(yàn)證某些特殊情形，因此需要適當(dāng)增多起點(diǎn).

　　(3)加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，適當(dāng)可以改變跨度，但注意起點(diǎn)也應(yīng)相應(yīng)增多.

　　(4)選擇合適的假設(shè)方式：歸納假設(shè)為一定要拘泥于“假設(shè) 時(shí)命題成立”不可，需要根據(jù)題意采取第一、第二、跳躍、反向數(shù)學(xué)歸納法中的某一形式，靈活選擇使用.

　　(5)變換命題：有些命題在用數(shù)學(xué)歸納證明時(shí)，需要引進(jìn)一個(gè)輔助命題幫助證明，或者需要改變命題即將命題一般化或加強(qiáng)命題才能滿足歸納的需要，才能順利進(jìn)行證明.

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