2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(18)

　　(3)簡(jiǎn)化類比

　　簡(jiǎn)化類比，就是將原命題類比到比原命題簡(jiǎn)單的類比命題，通過(guò)類比命題解決思路和方法的啟發(fā)，尋求原命題的解決思路與方法.比如可先將多元問(wèn)題類比為少元問(wèn)題，高次問(wèn)題類比到低次問(wèn)題，普遍問(wèn)題類比為特殊問(wèn)題等.

　　【例4】已知xi≥0(i=1，2，…，n)，且xl+x2+…+xn=1。

　　求證：1≤ + +…+ ≤ .

　　【分析】我們可先把它類比為一簡(jiǎn)單的類比題：“已知xl≥0，x2≥0，且xl+x2 =1，求證1≤ + ≤ ”.本類比題的證明思路為：∵2 ≤xl+x2=l，∴0≤2 ≤1，則1≤xl+x2+2 ≤2，即1≤( + )2≤2，∴1≤ + ≤ .這一證明過(guò)程中用到了基本不等式和配方法.這正是要尋找的證明原命題的思路和方法.

　　證明：由基本不等式有0≤2 ≤xi+xj，則

　　0≤2 ≤(n-1)( xl+x2+…+xn)=n-1

　　∴1≤xl+x2+…+xn +2 ≤n，即1≤( + +…+ )2≤n

　　∴1≤ + +…+ ≤ .

　　所謂歸納，是指通過(guò)對(duì)特例的分析來(lái)引出普遍結(jié)論的一種推理形式.它由推理的前提和結(jié)論兩部分構(gòu)成：前提是若干已知的個(gè)別事實(shí)，是個(gè)別或特殊的判斷、陳述，結(jié)論是從前提中通過(guò)推理而獲得的猜想，是普遍性的陳述、判斷.其思維模式是：設(shè)Mi(i=1，2，…，n)是要研究對(duì)象M的特例或子集，若Mi(i=1，2，…，n)具有性質(zhì)P，則由此猜想M也可能具有性質(zhì)P.

　　如果 =M，這時(shí)的歸納法稱為完全歸納法.由于它窮盡了被研究對(duì)象的一切特例，因而結(jié)論是正確可靠的.完全歸納法可以作為論證的方法，它又稱為枚舉歸納法.

　　如果 是M的真子集，這時(shí)的歸納法稱為不完全歸納法.由于不完全歸納法沒(méi)有窮盡全部被研究的對(duì)象，得出的結(jié)論只能算猜想，結(jié)論的正確與否有待進(jìn)一步證明或舉反例.

　　本節(jié)主要介紹如何運(yùn)用不完全歸納法獲得猜想，對(duì)于完全歸納法，將在以后結(jié)合有關(guān)內(nèi)容(如分類法)進(jìn)行講解.

　　【例5】證明：任何面積等于1的凸四邊形的周長(zhǎng)及兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之和不小于4十 .

　　【分析】四邊形的周長(zhǎng)和對(duì)角線的長(zhǎng)度和混在一起令人棘手，我們可以從特例考察起：先考慮面積為1的正方形，其周長(zhǎng)恰為4，對(duì)角錢之和為2 即 .其次考察面積為1的菱形，若兩對(duì)角線長(zhǎng)記為l1、l2，那么菱形面積S= l1·l2，知

　　l1+ l2≥2 =2 = ，菱形周長(zhǎng)： l=4 ≥2 =4。

　　由此，可以猜想：對(duì)一般的凸四邊形也可將其周長(zhǎng)和對(duì)角線長(zhǎng)度和分開(kāi)考慮.

　　【證明】設(shè)ABCD為任意一個(gè)面積為1的凸四邊形，其有關(guān)線段及角標(biāo)如圖.則

　　SABCD= (eg+gf+fh+he)sinα

　　≤ (e+f)(g+h)≤ ，

　　∴e+f+g+h≥2 ，即對(duì)角線長(zhǎng)度之和不小于 .

　　∴a+b+c+d≥4，即周長(zhǎng)不小于4.

　　綜上所述，結(jié)論得證，

　　【例 6】在一直線上從左到右依次排列著 1988個(gè)點(diǎn)P1，P2，…，P1988，且Pk是線段Pk-1Pk+1的k等分點(diǎn)中最靠近Pk+1的那個(gè)點(diǎn)(2≤k≤1988)，P1P2=1，

　　P1987 P1988=l.求證：2l<3-1984。

　　【分析】本題初看復(fù)雜，難以入手.不妨先從特殊值出發(fā)，通過(guò)特殊值的計(jì)算，以便分析、歸納出一般性的規(guī)律.

　　當(dāng)k=1時(shí)，P1P2=1(已知);當(dāng)k= 2時(shí)， P2是P1P3的中點(diǎn)，故P2P3= P1P2= 1;當(dāng)k=3時(shí)， P3是P2P4的三等分點(diǎn)中最靠近的那個(gè)分點(diǎn)，即P3P4= P2P4= ( P2P3+ P3P4) = P2P3+ P3P4，故P3P4= P2P3= ①

　　由此可推得4 P5= × ②，P5P6= × × ③

　　由①、②、③，可歸納以下猜想：

　　PkPk+1= Pk-1Pk。

　　【證明】

　　于是有：

　　令k=1987，則有

　　故2l<3-1984。

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