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第三節(jié)期權(quán)定價(jià)

幾何布朗運(yùn)動

　　1.幾何布朗運(yùn)動的定義

　　幾何布朗運(yùn)動(GBM) (也叫做指數(shù)布朗運(yùn)動) 是連續(xù)時(shí)間情況下的隨機(jī)過程，其中隨機(jī)變量的對數(shù)遵循布朗運(yùn)動. 幾何布朗運(yùn)動在金融數(shù)學(xué)中有所應(yīng)用，用來在布萊克-舒爾斯定價(jià)模型中模仿股票價(jià)格。法國數(shù)學(xué)家巴舍利耶在《投機(jī)交易理論》一文中提出股票價(jià)格遵循布朗運(yùn)動。保羅·薩繆爾森1965年首次提出了股價(jià)S應(yīng)遵循幾何布朗運(yùn)動。

　　2.相關(guān)方程式

　　1)股價(jià)S的隨機(jī)微分方程形式為：

　　上式中，S表示t時(shí)刻的股價(jià)，μ、σ為常量，分別表示股票的期望收益率和波動率，Bt服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。從公式可以看出，股票價(jià)格在短時(shí)期內(nèi)的變動(即收益)來源于兩個(gè)方面：①短時(shí)間內(nèi)的預(yù)期收益率的變化;②隨機(jī)正態(tài)波動項(xiàng)。

　　3、應(yīng)用：

　　幾何布朗運(yùn)動在布萊克-舒爾斯定價(jià)模型被用來定性股票價(jià)格，因而也是最常用的描述股票價(jià)格的模型。使用幾何布朗運(yùn)動來描述股票價(jià)格的理由:

　　幾何布朗運(yùn)動的期望與隨機(jī)過程的價(jià)格(股票價(jià)格)是獨(dú)立的, 這與我們對現(xiàn)實(shí)市場的期望是相符的。

　　幾何布朗運(yùn)動過程只考慮為正值的價(jià)格, 就像真實(shí)的股票價(jià)格。

　　幾何布朗運(yùn)動過程與我們在股票市場觀察到的價(jià)格軌跡呈現(xiàn)了同樣的“roughness” 。

　　幾何布朗運(yùn)動過程計(jì)算相對簡單。.

　　然而，幾何布朗運(yùn)動并不完全現(xiàn)實(shí)，尤其存在一下缺陷:

　　在真實(shí)股票價(jià)格中波動隨時(shí)間變化 (possiblystochastically), 但是在幾何布朗運(yùn)動中, 波動是不隨時(shí)間變化的。

　　在真實(shí)股票價(jià)格中, 收益通常不服從正態(tài)分布 (真實(shí)股票收益有更高的峰度('fatter tails'), 代表了有可能形成更大的價(jià)格波動).

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